Kumarın Matematiği: Bir Matematik Profesörü Pokerden Milyarlar Kazanabilir mi?

Kumar olgusu insanlık tarihinde çok konuşulmayan köklü bir yere sahip. Zira tarihçiler ve arkeologlar kumar oyunlarının ilk izlerine yazının icadından da önce Paleolitik Dönem’de rastlamaktadır. Bu durum biraz ilginçtir çünkü kumar olgusu gündelik yaşantımızda önemli bir yere sahip olan matematikten bile daha eskidir. Matematik hakkında bulunan en eski kaynaklar M. Ö. 2000 lerde iken kumar oyunları hakkında tutulan kayıtlar M. Ö. 3000 e kadar dayanır. Gerek bu durum gerek hem matematiğin hem de kumarın anavatanını Mezopotamya olması bizi bu ikisi arasındaki benzerliklere götürür. Son zamanlarda haberlerde yer alan “Matematik dahisi poker milyarderi” gibi manşetleri de göz önüne aldığımızda acaba kumarın matematik ile cidden bir alakası var mı sorusu geliyor akıllara.

Yazının bu bölümünde bahsi geçen haber manşetleri üzerinden bu ilişkiye göz atacağız. Matematik gerçekten kumar ile ilişkili bir duru mu? Matematik bilmek kumarda yarıdmcı olur mu gibi sorular cevap arayacağız. Fakat her şeyden önce kumar dediğimiz şeyin geçmişinden bahsetmek istiyorum sizlere.

Günümüze en yakın anlamda kumar girişte de bahsedildiği üzere M.Ö. 3000 li yıllarda astiragali denen üzerinde harflerin ya da sayıların yazılı olduğu zar tipi eşyalar ile icra ediliyordu. Bu astiragali denen parçalar kumar oynamanın dışında gökyüzü olaylarını tahmin etmede de kullanılıyordu. İsminin başındaki Astra eki buradan gelmektedir. (Astro ya da Astra gök anlamına gelmektedir. Bkz. Astronomi ) M. Ö. 1000 yılında ise Çinliler yaprak ve tahta bloklara belirli semboller yazarak ilk kağıt oyununu icad etmişlerdir. Mezopotamyalıların icat ettiği zar ve çinlilerin icat ettiği kağıt günümüzde hala kullanılmakta olup birçok kumar oyunun da temel unsurlarıdır. Zar ve kağıtla oynanan kumar oyunlarının en klasikleri; Blackjack, Poker, Okey, Pişti, Baccarat’tır.

Bu tür oyunların filim ve dizilerde sıkça yer alamsı, online oynama seçeneklerinin olması onları günümüzde daha popüler bir unsur haline getirmişir. Haliyle de genç yaştaki kitlenin de dikattini çeken kumar oyunları “genç dahilerin” milyonlarca kazanmasına yol açıyor.

Bu örenklerden biri hatta belkide en tanınan ismi 22 yaşındaki Peter Eastage. Uluslar arası gazetelerde boy boy manşetlerinin basıldığı bu genç oyunucnun kazandığı büyük meblalardan ve yaşından övgüyle bahsedilen Eastage, bize en başta sorduğumuz soruyu tekrardan hatırlatıyor. Estage bir matematik dehası mı? Yoksa sadece çok şanslı bir adam mı?

Eastage kadar olmasak da biz de şanslı insanlarız ki bu soruyu bizden önce bir veri analisti olan Edwart O. Throp ve birkaç arkadaşı da sormuş ve bu konu hakkında bir kitap yayınlamışlar. Kitabın ismi “The Mathematics of gambling” türkçesi kumarın matematiği. Bay Throp kendi kitabında Matematik ve Kumar arasındaki bağlantıyı, istatistik biliminin ve veri analizini kullanarak nasıl kumar oynayacağını detaylı olarak kitabında anlatmıştır fakat ben bugün sizlere kısa ve özet bir şekilde matematiğin bir profesöre kumarı kazandırıp kazandırmayacağını açıklayacağım.

BİR MATEMARİK PROFESÖRÜ KUMARA BAŞLAMALI MI?

Kumarbazların kazanmak için uyguladığı taktiklerden ilki; Olası olasılıkları tahmin etmek. “Olasılıkları tahmin etmeyi anlarım da olası olasılıkları tahmin etmek nedir?” diyenleriniz için hemen açıklık getirelim. Burada bahsedilen şey aslında her bir ihtimal için örnek uzayı bulmak ve bulunan örnek uzayları analiz etmek. Bir poker oyuncusu olduğunuzu hayal edin. Tamamen adil (adil kelimesinin anlamına daha sonra değinilecektir fakat siz şimdilik bir tüm kartların benzer kesim ve ağırlığa sahip olması gibi stabil bir ortam olarak değerlendirin) ve hilesiz bir masa da ilk tur size gelen el ve oyunun kuralları dışında hiçbir veriye sahip olamazsınız. Lakin ikinci turda yerdeki kartlara ve oyuncuların attığı kartları bilirsiniz, bu da sizin olası örnek uzayınızı daraltır. Başarılı kumar oyuncuları ellerinde olan verileri en iyi şekilde değerlendirerek olası örnek uzayları tahmin ederler ve bu örnek uzaylara göre oynarlar. Haliyle de bir sonraki el hakkında bir tahminleri olduğu için kazanma şansları artar.

Bu biraz karışık geldiyse size basit bir oyun üzerinden anlatayım;

11 li oyunu kazanmak için 2 puanın üstüne puan toplamanız gerekir. Oyunda toplanabilecek toplam puan 5 olduğu için 2 puan üstü aldığınızda otomatik olarak rakibinizden fazla puana sahip olduğunuz için siz kazanmış olursunuz. (3 puan alırsanız rakibiniz 5-3 den 2 puan alır.)

Oyunda puan elde etmek için ise belirli şartlar vardır. Eğer oyun sonunda elinizde güzel ikili (Sinek iki) varsa 2 puan, güzel onlu ( karo onlu ) varsa 2 puan, rakibinizden daha fazla kartınız varsa (bir destede 52 kart olduğu için 26 üstü kartınız varsa iki kişilik bir oyunda kazanırsınız.) 3 puan alırsınız. Kart toplamak için ise bazı şartlar vardır: Elinizden alıpn yere attığınız kart yerdeki bi ya da birden fazla kartın rengi fark etmeksizin toplamını 11 yapıyorsa, 11 yapan tüm kartlar sizin olur. Ayrıca elinizde K, Q veya J varsa aynı renkteki K, Q ve J sizin olur. Örneğin kupa J ile karo J yi alabilirsiniz ama kupa J ile sinek J yi alamazsınız. Ya da Karo J ile Karo Q yi alamazsınız çünkü aynı segmentte değillerdir.

Verilen bu şartlarla oynanan oyunda bir kumar ustası matematiği kullanarak nasıl örnek uzay oluşturur peki?

Öncelikle profesyonel bir oyuncu zihninde elli iki kartı hayal edebilmelidir. Oyunun ilk eli açılan kartları zihninde eler ve bir sonraki oyunun örnek uzayını oluşturur.

Oyuncunun kendi elinde 4 kart ve yerde açılan 4 kart olduğu için rakibin elinde olması ihtimal 52 - (4+4) = 44 ihtimal vardır. Tabiki bu 44 kartın kendi içinde dizilişleri vs. de önemlidir fakat daha ilk elden çok fazla ihtimal olacağı için bu ihtimalleri hesaplamayacağız.

Oyunun sonlarına doğru profesyonel oyuncumuzun ihtimalleri azalacaktır. Çünkü yavaş yavaş açılan kartlarının sayısı artmaktadır. Örnek uzay azaldıkça ihtimaller artar. Örneğin 1. el olası 44 kart var iken birkaç el sonra bu

2. el 44- (4+4) = 36

3. el 36 - (4+4) = 28

4. el 28 - (4+4) = 20 kart olur.

Dördüncü el olduğunu hayal edelim. Örneğin 4. ele kadar hiç çıkmamış bir jokerin şimdi çıkma ihtimali nedir?

4/20 = %20 değil mi? Bu durumda biraz temkinli oynamakta fayda ver çünkü ilk elde bu ihtimal 4/52 = %7.692.. dir.

Oyunun sonlarına doğru bu ihtimalin artması tabiki de doğal ve beklenen bir şey. O zaman bir de şöyle bir şey düşünün, 4. elden önce bir joker çıkmış olsun

3/20= %15 ihtimal joker şu an rakibinizin elinde duruyor olacaktır. Eğer sizin elinizde de bir joker var ise

2/20 = %10 ihtimal rakibimizde bir joker vardır.

Örneğin bir kartın ihtimalleri nasıl değiştirdiğini anlaşılmasını sağladığını düşünüyorum. Bu sebeple örnek uzayı çıkarmak adına oyunu ve kartları iyi takip etmek önemlidir. Kumar oyuncusunun burd yapacağı şey kafasında gerçek hayatta olan küme elemanlarının çizmek ve gerektiğinde kümedeki elemanları eleyerek örnek uzayı her seferinde tekrardan oluşturmaktır.

Ayırca Oyunu bu şekilde takip ettiğinizde son eli 100 bir biçimde tahmin edebilirsiniz:

4. 20

5. 20 - 8 = 12

6. 12 - 8 = 4 olur ve 4/4 bir tahim gerçekleştirmiş olursunuz. Bu tekniğin size 100 bir kazanç sağlayacağını söyleyemeyiz tabiki ama bu ihtimallerin size büyük bir avantaj sağlayabileceği şüphesiz doğrudur.

İkinci bir taktik ise ortalama kazanç üzerinden yapılan analizlerdir. Bunu anlamı şu, Profesyonel kumarbazın sadece oyun kurallarına bakarak o oyundan ortalama ne kadar kazanabileceğini hesaplar ve buna göre uzun süreli yahut kısa süreli oyunlar oynar.

Dediğim size saçma gelebilir fakat arkasında basit bir istatistik yatmaktadır. öncelikle ev kavramına (beklenen değer) bir göz atalım. bir oyundan kazanmayı beklediğiniz ortalama miktara ev denir. Örneğin yazı geldiğinde 1 TL aldığınız, tura geldiğinde ise 1 TL kaybettiğiniz bir oyunda ev 0 dır çünkü %50 ihtimal 1 TL kazanırken %50 ihtimal 1TL kaybedersiniz. Bu şartlarda oyuncu ne kadar oynarsa oynasın masadan 0 TL kazanç ile kalkmayı hedefler.

Fakat yazı geldiğinde 1 TL alıp, tura geldiğinde 2 TL verseydiniz ev - 1 TL olurdu ve oyuncu aynı oyunu 100 kere oynarsa - 100 TL zarara girip masadan kalkmayı planlayabilirdi.

Tuhaf bir biçimde casinolardaki çoğu klasik oyun bu şekilde eksili eve sahiptir. Yani oyunlar Ev değişkeni bakımından adil düzenlenmemiştir. O zaman profesyonel oyuncuların hepsi neden bu oyunları oynamaya devam ediyor ki?

Cevap iki kelimede saklı : Standart sapma. Buna istatistik Volatilite indikatörü de denir. Volatilite indikatörü kısaca, bir oyuncuya EV’den daha fazla veya daha az kazanma şansını söyler. Önceki coin örneğini kullanarak, 100 oyundan sonra, oyuncunun oyundan -10 ila 10 $ arasında bir kârla ayrılma şansı %68’dir ve-$20 ile $20 arasında bir kârla ayrılma ihtimali ise %95’dir.

Standart sapmadan da anlaşılabileceği üzere ne kadar çok ve ne kadar büyük oynarsanız karınız o kadar artar. Belki profesyonel oyuncuların bu kadar kazanmasını sebeplerinden biri de budur. Sonuçta profesyoneller bir oyuncan milyonlarca dolar zarar etse de masadan kalkmayıp son dakikada kazanç elde etmeleri ile bilinirler.

Üçüncü olarak ise matematik ile bir alakası olmasa da bir çok çalışma tarafından profesyonel oyuncuların usta mimik okuma ve gizleme yeteneklerini ortaya koymuştur. Bu özellikleri de tabiki oyunda çok yardımcı olmuştur.

Sonuç olarak, kumar oyunlarının geniş bir geçmişi bulunmaktadır ve bu süre zarfı içinde birçok kişi bu oyunların verilerini kullanarak istatiksel sonuçlar elde etmiştir. Matematik ciddi ölçülerde oyuncuya yardımcı olabilmek ile birlikte hala büyük bir şans faktörü ve casinonun kazancına yönelik düzenlenmiş oyun kuralları bulunmaktadır. İyi bir istatikçi kumarda çok başarılı olabilir mi sorusunun cevabına klasik bir oyuncudan daha iyi olacağı ama KESİN bir şey söylemenin de doğru olamayacağını göstermiştir.

Kaynakça:

References

Schwartz, D. G., & Schwartz, D. D. G. (2013). Roll The Bones: The History of Gambling (Casino Edition). Winchester Books.