İki Değişkenli Bağlanım Modelleri ve Monte Carlos Yöntemi

İçindekiler:

1. Giriş

2. Bulgular

2.1 Regresyon Analizi

2.2 Anakütle Bağlanım Modeli

2.3 Örneklem Bağlanım Modeli

2.4 SEK Tahmincileri

2.5 Monte Carlo Yöntemi

3. Tartışma ve Sonuç

4. Kaynakça

1. Giriş

   
   

Matematik,ekonomi, finansveistatistikgibibirçokalandaolasılıktahminiyapmakaktifbir biçimde kullanılmaktadır. Ekonomik boyutta bir önem sahip olan ileriyi öngörebilme bağlamında sahip olunan örneklemlerden olasılık tahmininde bulunmak ve en verimli olasılığı tahmin etmek büyük önem arz etmektedir. Bu bağlamda geçmişten günümüze gelmişbilim insanlarını geliştirdiği birden fazla yöntem bulunmaktadır. Bu makalede de; bu örneklerden en bilinen ve işlevsel olduğu düşünülen ÖBİ, ABİ, AEK ve Monte Carlo yöntemi incelenecektir.

2. Bulgular

   
   

2.1 Regresyon Analizi

Regresyon, bir bağımlı ve birden fazla bağımsız değişkenin arasındaki bağlantıyı ve niteliği belirlemeyi amaçlayan istatistiksel bir terimdir. Finans alanında da sıklıkla kullanılan bu terim bağlamında gerçekleştirilen analiz işlemlerine “Regresyon Analizi” ismi verilir.

Bu analizin temelinde bağımlı değişkenin bağımsız değişkenlerde gerçekleşen dalgalanmalara verdiği reaksiyonlar çözümlenmeye çalışılır. Bu çözümleme modelleme yolu ile grafikler üzerinden açıklanır. Regresyon analizinin denklemi aşağıda verilmiştir:

Y = mX. b

(Bağımlı Değişken = Eğim. Bağımlı değişken + Denklem sabiti)

Sekiz farklı regresyon türü bulunmaktadır. SEK yöntemi ve bahsedilen modellemeler doğrusal regresyon başlığı içerisindedir.

Grafik 1, Regresyon Analizi Modelleme Örneği

2.2 Anakütle Bağlanım Modeli (ABİ)

İstatiksel çizimlerde artı eğimli şekilde gösterilen matematiksel hesaplamalar ve işlev, Anakütle Bağlanım İşlemi olarak da literatüre geçen ABİ olarak isimlendirilir. Bu işlevin temel kullanım amacı açıklayıcı değişken veya değişkenlerin koşullu ortalama veya beklenen değerlerini geometrik düzlemde gösterebilmektir.

Koşullu bir ortalama olan ABİ X’in bir işlevidir: E(Y|Xi) = f(Xi). f(Xi) şeklinde sunulan ABİ x’deki değişme durumunun yanı sıra Y’nin ortalama dağılımını da gösterir. Bu bağlamda ilgilenilen ve ulaşılması hedeflenen değer Y’nin dağılımıdır ve f(Xi) üzerinden bu değer hesaplanmaya çalışılır.

Bu noktada eklenmelidir ki f(Xi)’in işlev biçimi günlük hayattaki kullanımından farklıdır. Gerçek hayatta incelemeye açık olmayan bu kavram bir iktisat kuramı olarak hesaplamalarda kullanılabilir. Buna örnek olarak bir ekonomistin bir ayda gerçekleştirdiği tüketim harcamalarının geliri ile doğrusal bir ilişki içerisinde olduğu söyleniyor olsun. Bu bağlamda ortaya çıkan işlem de aşağıda verilen şekilde görünür;

E(Y|Xi) = f(Xi)(ABİ) = β1 + β2Xi

2.3 Örneklem Bağlanım Modeli (ÖBİ)

Bahsedilen ABİ işlevi iktisat kuramı olarak kullanılsa da gerçek yaşamda anakütle verilerine ulaşmak neredeyse imkansızdır. Bu bağlamda geliştirilen bir diğer teknik(işlev) ise rastal bir örneklem ile kullanılan bağlanım işlevi, bir diğer deyiş ile, örneklem bağlanım işlevi(ÖBİ) denir. Bu işlevi gösteren doğru ise “örneklem bağlantı doğrusu” şeklinde adlandırılır.

Bu işlevi daha iyi açıklamak için bir örnek üzerinden ilerleyelim: Ana kütleden her biri 10 gözlem büyüklüğünde olan iki farklı rastlantısal örneklem çekelim. (YALTA, 2011)

Çıkarılan datalardan oluşturulan grafiğe bakıldığında görülmüştür kü rastsal örneklemlerin düzlemi ile bağlanım doğrularının doğrultusu farklıdır. Bu bağlamda söylenmektedir ki, rastsallık nedeniyle örneklem verilerini kullanarak anakütle bağlanım işlevini kullanarak doğru tahminde bulunmak mümkün değildir.

Buna ek olarak belirtilen iki örneklem doğrusundan hangisinin gerçeğe en yakın olduğu belirsizdir. Genelde “n” kadar farklı örneklem için n tane farklı ÖBİ bulunur. Belirtilen tahmin sorunu sebebi ile örneklem bağlanım işlemi aşağıdaki biçimde gösterilmektedir:

Yi=βˆ1 +βˆ1Xi +u^i

(Yi= B1’in tahmincisi + B2’nin tahmincisi. X1= ui’nin tahmincisi)

Grafikte gösterilen birinci ve ikinci örneklem için denklemde yerine konulduğunda aşağıdaki eşitlikler oluşur:

(Birinci ÖBİ) Yi = 24,5 + 0,509Xi + uˆi

(İkinci ÖBİ) Yi = 17,2 + 0,576Xi + uˆi

Bu iki eşitliğe bakıldığında söylenebilir ki; B1 değiştirge değerini B2’ye kıyas ile daha yüksek tahmin etmiştir. Bu bağlamda sorulması gereken ABİ bilinmese bile oluşturulan B1 ve B2’nin değerinin, gerçek B1 ve B2’ye yakın olduğu bir ÖBİ’nin nasıl oluşturulabileceğidir. Bu sorunun cevabına hala ulaşılamamıştır.

2.4 SEK Tahmincileri (EKK Yöntemi)

Yapılması hedeflenen bağlanım çözümlemesinde amaç ÖBİ temel alınarak ABİ’nin olabildiğince doğru tahmin edilebilmesidir. Belirtilen ve sonuca ulaşılamayan bu duruma ulaşmak için en sık kullanılan yöntem “sıradan küçük kareler” isimli SEK yöntemidir. Bu yöntem 1794 yılında ünlü Alman matematikçi Carl Gauss tarafından bulunmuştur.

“Kısacası, y = a + bx doğrusu üzerindeki (xi , y) noktaları ile verilen (xi , yi) serpme noktaları arasındaki uzaklıkların kareleri toplamını minimum yapan a ve b katsayılarını bulma işleminden ibarettir. Bu katsayılar bulununca, y = a + bx doğrusu (regresyon doğrusu) bulunmuş olur.” (BAŞKENT, 2022) Bu yöntem sayesinde birbirine bağlı değişiklik gösteren iki büyüklük arasındaki matematiksel bağıntı, tahmin edilerek gerçeğe en yakın değere ulaşabilecek şekilde denklem oluşturulur.Bu denklem oluşturma yönteminin ismi SEK yöntemi, bir diğer deyiş ile “standart regresyon yöntemidir”. Gerçek veri noktasına en yakın olacak şekilde bir fonksiyon eğrisi oluşturulmaya çalışılır.

Yapılan bu eğri bulma işlemi basınç ve sıcaklık, tüketim ve gelir gibi ikili değişkenlerin arasındaki ilişkiyi hesaplayabilmek için kullanılır. Bu bağlamda bu yöntem değişkenler arasındaki doğrusal ilişkinin fonksiyon görüntüsü oluşturarak geleceğe dair tahmin yapmayı kolaylaştırır.

Bilinmektedir ki ekonomide ve genel piyasada arz-talep oldukça önemlidir. Her şeyin temelini oluşturan ve tüm ürünlerin fiyatlarını etkileyen bu arz-talep eğrisini etkileyen beş değişkenden birisi geleceğe dair sahip olunan beklentilerdir.

Buna örnek olarak bir çiftçinin ürün fiyatını tahmin ettiği piyasa kalabalıklığına veya rakiplerinin durumuna göre belirleyerek sezona başlaması örnek verilebilir. Bu bağlamda SEK yöntemi sayesinde tahmin süreci hızlanır, arz-talep eğrisinin ve piyasanın stabilitesi korunabilmiş olur.

Bu yönteme nasıl ulaşıldığı matematiksel olarak şu şekilde açıklanabilir:

Bilindiği gibi ABİ aşağıda verildiği şekilde gösterilir:

Yi = β1 + β2X1 + ui

Ancak ABİ bağlamında gerekli olan ana kütleye ulaşılma imkansızlığı sebebiyle kullanılan ÖBİ de aşağıda gösterilmektedir:

Yi = βˆ1 + βˆ2 Xi + uˆ2 = Yˆi+ uˆi

Ancak bu ABİ doğrultusunda kullanılan ÖBİ’dir. ÖBİ’nin kendi denklemi, bir diğer deyiş ile hata terimi de belirtildiği gibidir:

uˆi= Yi − Yˆi= Yi − βˆ1 − βˆ 2Xi

Bu yöntemde Gauss tarafından ÖBİ ve ABİ doğrultusunda oluşturulan en küçük kareler ölçütü kullanılır. Bu işlemler oldukça kompleks ve uzun ispatlar, yoğun bir geometri ve kalkülüs kullanımı gerektirir. Bu noktada söylenmelidir ki SEK yöntemi sonucu oluşturulan fonksiyonel eğri de gerçeğin aynısı olamaz, yöntem tam doğruluk göstermez. Oldukça fazla olan öncül varsayımların sağlanamaması sebebiyle bazı durumlarda hatalar halen yaşanmaktadır. Buna rağmen regresyon çözümlemesinde en yaygın ve doğruya yakın cevaplara bu yöntem ile ulaşılır.

2.5 Monte Carlo Yöntemi

Monte Carlo yöntemi, rastgele ve belirsiz örneklemler ile örnek uzayın modellenmesi için kullanılan sayısal tekniktir. Bu yöntem ikinci dünya savaşı esnasında belirsiz koşullar altında gerçekleşen karar verme sürecini hızlandırmak için geliştirilmiştir. SEK tahmincileri, ÖBİ ve ABİ’nin aksine Monte Carlo yöntemi, bir dizi sabit girdi değil rastgele girdiler üzerinden sonuç kümesini hesaplayabilir(Hesaplama öngörü ile gerçekleşir.) Olası sonuçları içeren modellemedeki maksimum ve minimum değerler arasında bir sayı kümesi belirlenir ve aynı işlem tekrar uygulanır. Bu işlem gerçeğe en yakın sonuç elde edilene kadar tekrarlanır.

İşleme giren girdi arttıkça öngörülen modellemenin gerçeğe yakınlığı da artar. Bu simülasyonu(yöntem) gösterecek örnek aşağıda belirtilmiştir:

Rastgele atılan çift zarın (hilesiz bir zar) olasılığı hesaplandığında 36 farklı kombinasyon bulunmaktadır.

1. zarın 6 farklı sonucu çıkabilir, 2. zarın 6 farklı sonucu olabilir.

6.6 = 36 farklı kombinasyon

Bu bağlamda spesifik bir sonucun olasılığı hesaplanabilir. Bir Monte Carlo simülasyonu doğrultusunda 10.000 kez üst üste uygulanış ile doğruya en yakın öngörü elde edilebilir.

Belirtilen simülasyonda 3 farklı temel adım vardır;

1. Tahmin edilen bağımlı ve bağımlı değişkeni etkileyen bağımsız değişkenlerin saptanması

2. Bağımsız değişkenlerin olasılık dağılımlarının hesaplanması

3. Simülasyonun sürekli olarak çalıştırılması

Görsel 1, Dijital sistem üzerinden Monte Carlo Simülasyonu ile örnek uzayda gerçeğe en yakın öngörülenin saptanması

3. Tartışma ve Sonuç

   
   

Yapılan incelemeler sonucu görülmüştür ki bağlanım çözümlemesi ve moddelenmesinde, bir başka deyiş ile, örnek uzaydaki olasılıklardan istenen durumun gerçeğe en yakın değerde olmasında ABİ, ÖBİ, SEK ve Monte Carlo olmak üzere birçok farklı yöntem kullanılır. ABİ ve ÖBİ yanlış modellemelere yol açma ihtimali bulundurması sebebi ile yeterince güvenilir metodlar değildir. ÖBİ ve ABİ’nin denklemleri üzerinden geliştirilen SEK yöntemi modelleme konusunda oldukça başarılıdır ama gerektirdiği ekstrem matematiksel işlemler sebebiyle yeterince evrensel değildir. Ortak amac sahip bu görevlerin işlevinin analizi sonucu söylenebilir ki gerçeğe en yakın öngörüyü günümüz teknolojisinden maksimum verimlilik ile yararlanan Monte Carlo yöntemi sağlar. Bu yöntemin üst üste tekrarlanması gerekliliği sebebi ile sonuca ulaşmak uzun zaman alsa da tüm yöntemlere bakıldığında en verimli olan Monte Carlo simülasyonudur.

4. Kaynakça

Mooney, C. Z. (1997). Monte carlo simulation (No. 116). Sage.

Harrison, R. L. (2010, January). Introduction to monte carlo simulation. In AIP conference proceedings (Vol. 1204, No. 1, pp. 17-21). American Institute of Physics.

Dismuke, C., & Lindrooth, R. (2006). Ordinary least squares. Methods and Designs for Outcomes Research, 93, 93-104.

Dempster, A. P., Schatzoff, M., & Wermuth, N. (1977). A simulation study of alternatives to ordinary least squares. Journal of the American Statistical Association, 72(357), 77-91.

Pindyck, R. S., & Rubinfeld, D. L. (2014). Microeconomics. Pearson Education.